دامنه کسرهای رادیکالی با رادیکان در مخرج را چگونه تعیین کنیم؟
برای تعیین دامنهٔ کسری که رادیکان در مخرج دارد، عبارت زیر رادیکال باید مثبت باشد، نه صرفاً نامنفی؛ زیرا صفر شدن مخرج مجاز نیست. این تفاوت، پاسخ بسیاری از تمرین‌های دامنه را تغییر می‌دهد.
دامنه کسر رادیکالی با رادیکان در مخرج؛ از کجا شروع کنیم؟
در عبارتی مانند ۱ تقسیم بر ریشهٔ دومِ ۲x−۱، شرط رادیکان ۲x−۱≥۰ است، اما شرط مخرج ۲x−۱≠۰ نیز باید هم‌زمان برقرار باشد؛ بنابراین نتیجه ۲x−۱>۰ می‌شود. اگر مخرج حاصل‌ضرب چند عامل باشد، برای هر عاملِ رادیکالیِ مخرج مثبت بودن و برای هر عاملِ جبریِ مخرج صفر نبودن را جداگانه بنویسید و سپس اشتراک شرط‌ها را به دست آورید.
روش گام‌به‌گام
- ابتدا همهٔ رادیکان‌های با فرجهٔ زوج را شناسایی کنید و برای هرکدام شرط نامنفی بودن عبارت زیر رادیکال را بنویسید.
- اگر رادیکان در مخرجِ یک کسر قرار دارد، شرط نامنفی را به شرط مثبت بودن تبدیل کنید؛ چون مقدار صفر، مخرج را صفر می‌کند.
- عامل‌های جبریِ مستقلِ مخرج را جداگانه بررسی کنید و مقدارهایی را که آن عامل را صفر می‌کنند از دامنه حذف کنید.
- اگر چند کسر یا چند رادیکان وجود دارد، شرط‌های به‌دست‌آمده را به‌صورت هم‌زمان در یک نامعادله یا جدول علامت ترکیب کنید.
- کران‌های حاصل را با توجه به باز یا بسته بودن آن‌ها روی محور عددی مشخص کنید و بازهٔ نهایی را بنویسید.
- در پایان یک نقطهٔ مرزی و یک نقطهٔ داخلی را در عبارت اصلی بررسی کنید تا بسته یا باز بودن بازه با خود تابع سازگار باشد.
دامنهٔ تابع f(x)=(x+1)/√(3−x) را بیابید. چون رادیکان در مخرج است، باید ۳−x>۰ باشد، نه ۳−x≥۰. از حل این نامعادله، x<۳ به دست می‌آید؛ پس دامنهٔ تابع بازهٔ (−∞,۳) است. مقدار x=۳ به دلیل صفر شدن مخرج حذف می‌شود، در حالی که x=۲ در دامنه قرار دارد.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای کنترل پاسخ، مرز x=۳ را در عبارت اصلی قرار دهید: مخرج صفر می‌شود و این مقدار مجاز نیست، پس کروشهٔ بسته نمی‌تواند درست باشد. سپس x=۲ را آزمایش کنید؛ رادیکان برابر ۱ و مخرج ناصفر است، بنابراین یک نقطهٔ داخلی دامنه تأیید می‌شود.
اشتباه اصلی تبدیل شرط رادیکان به ۳−x≥۰ و وارد کردن x=۳ در دامنه است. نامنفی بودن برای رادیکالِ صورت کافی است، اما وقتی همان رادیکان در مخرج باشد، مقدار صفر باید حذف شود؛ بنابراین شرط درست ۳−x>۰ است.
جمع‌بندی
در کسرهای رادیکالی، جایگاه رادیکان تعیین می‌کند کران دامنه بسته باشد یا باز. رادیکانِ صورت شرط نامنفی می‌خواهد، اما رادیکانِ مخرج شرط مثبت می‌خواهد. پس از نوشتن این شرط‌ها، صفرهای سایر عوامل مخرج را نیز حذف و اشتراک نهایی را بررسی کنید.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←