حل سؤال دامنه تابع ترکیبی؛ ترتیب شرط‌ها و دام‌های رایج
حل سؤال دامنه تابع ترکیبی با بررسی دو شرط انجام می‌شود: ورودی تابع بیرونی باید در دامنه آن باشد و خروجی تابع درونی باید در دامنه تابع بیرونی قرار بگیرد؛ جابه‌کردن این دو شرط رایج‌ترین خطاست.
حل سؤال دامنه تابع ترکیبی؛ از کجا شروع کنیم؟
برای دامنه تابع ترکیبی (f∘g)(x)=f(g(x))، ابتدا x باید در دامنه g باشد و سپس مقدار g(x) باید عضو دامنه f باشد. بنابراین فقط ممنوع‌کننده‌های ظاهر عبارت g کافی نیستند؛ شرط‌های تابع بیرونی نیز باید پس از جای‌گذاری g(x) بررسی شوند. در کسرها مخرج صفر، در رادیکال زوج عبارت زیر رادیکال منفی و در لگاریتم آرگومان نامثبت مجاز نیست.
روش گام‌به‌گام
- دامنه تابع درونی g را از روی مخرج، رادیکال زوج، لگاریتم و هر محدودیت دیگر تعیین کنید.
- عبارت g(x) را در شرط تعریف تابع بیرونی f قرار دهید؛ برای نمونه اگر f(t)=√(t−2)، باید g(x)−2≥0 باشد.
- شرط‌های به‌دست‌آمده را با دامنه g هم‌زمان کنید و اشتراک بازه‌ها را به دست آورید؛ اجتماع‌گرفتن از شرط‌ها در این مرحله خطاست.
- اگر تابع بیرونی چند محدودیت دارد، همه را جداگانه بنویسید؛ مثلاً برای f(t)=ln(t−1)/(t+3)، هم t−1>0 و هم t+3≠0 لازم است.
- در پایان یک مقدار آزمایشی از هر بازه مجاز انتخاب کنید و بررسی کنید که ابتدا g(x) و سپس f(g(x)) تعریف‌پذیر باشند.
فرض کنید g(x)=1/(x−2) و f(t)=√(t+1). دامنه g شرط x≠2 را می‌دهد. برای تابع بیرونی باید g(x)+1≥0 باشد؛ پس 1/(x−2)+1≥0 یا (x−1)/(x−2)≥0. جدول علامت با نقاط 1 و 2 نشان می‌دهد دامنه ترکیب برابر (−∞,1]∪(2,+∞) است. عدد x=1 مجاز است چون g(1)=−1 و رادیکال صفر می‌شود؛ x=2 حذف می‌شود چون g در آن تعریف نشده است.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای کنترل پاسخ، ابتدا نقاط مرزی 1 و 2 را جداگانه آزمایش کنید: نقطه 1 باید در دامنه باشد، نقطه 2 نباید باشد. سپس از هر بازه مانند x=0 و x=3 مقدار ترکیب را حساب کنید؛ در x=0 مقدار g برابر −1/2 و خروجی رادیکال تعریف‌پذیر است، و در x=3 مقدار g برابر 1 و خروجی نیز تعریف‌پذیر است. این آزمون هم شرط تابع درونی و هم نامساوی تابع بیرونی را کنترل می‌کند.
خطای اصلی این است که دانش‌آموز فقط x≠2 را از مخرج تابع درونی می‌نویسد و شرط رادیکال تابع بیرونی را نادیده می‌گیرد. خطای دیگر جای‌گذاری x در f به‌جای جای‌گذاری g(x) است؛ شرط f(t) باید با t=g(x) تبدیل شود. همچنین نقطه‌ای که مخرج نامساوی را صفر می‌کند، حتی اگر نامساوی علامت مناسب نشان دهد، در ترکیب مجاز نیست.
جمع‌بندی
دامنه تابع ترکیبی از اجرای ترتیبی دو تابع به دست می‌آید: نخست دامنه تابع درونی، سپس شرط‌های تابع بیرونی روی خروجی آن. نوشتن شرط‌ها به شکل جداگانه و گرفتن اشتراک آن‌ها مانع حذف بازه‌های لازم یا واردکردن نقاط ممنوع می‌شود.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←