حل سؤال معادله گویا؛ حذف جواب‌های ممنوع و انتخاب روش درست
حل سؤال معادله گویا با نوشتن شرط صفر نبودن مخرج، انتخاب ک.م.م مخرج‌ها و آزمودن جواب‌های نهایی انجام می‌شود؛ این ترتیب جلوی پذیرفتن جواب نامعتبر پس از ضرب طرفین را می‌گیرد.
حل سؤال معادله گویا؛ از کجا شروع کنیم؟
در معادله گویا، مجهول در یک یا چند مخرج قرار دارد و مهم‌ترین دام آن جدا کردن مخرج‌ها بدون ثبت شرط تعریف است. برای نمونه، در معادله ۱/(x−۲)+۱/(x+۲)=۱، پیش از هر ضربی باید x≠۲ و x≠−۲ نوشته شود. سپس ک.م.م مخرج‌ها انتخاب می‌شود، عبارت‌ها بدون حذف علامت یا عامل مشترک ضرب می‌شوند و جواب‌های به‌دست‌آمده دوباره در صورت اصلی آزمون می‌شوند.
روش گام‌به‌گام
- همه مخرج‌ها را برابر صفر قرار دهید و مقادیر ممنوع مجهول را ثبت کنید؛ این مقدارها هرگز جواب معادله نیستند.
- اگر مخرج‌ها چندجمله‌ای‌اند، در صورت امکان آن‌ها را تجزیه کنید تا ک.م.م با کمترین عامل‌های لازم تشکیل شود.
- دو طرف معادله را در ک.م.م مخرج‌ها ضرب کنید و برای هر جمله، عامل‌های مخرج را دقیقاً حذف کنید؛ حذف یک عامل فقط در قالب ضرب کامل مجاز است.
- معادله چندجمله‌ای حاصل را با روش مناسب، مانند تجزیه یا فرمول درجه دوم، حل کنید.
- هر ریشه را هم با مقادیر ممنوع مقایسه کنید و هم در معادله اولیه جای‌گذاری کنید؛ حل معادله ساده‌شده به‌تنهایی کافی نیست.
- پاسخ نهایی را به‌صورت مجموعه‌ای از ریشه‌های مجاز بنویسید و اگر همه ریشه‌ها حذف شدند، صریحاً بنویسید مجموعه جواب تهی است.
معادله ۱/(x−۲)+۱/(x+۲)=۱ را حل کنید. شرط‌ها x≠۲ و x≠−۲ هستند. با ضرب در (x−۲)(x+۲) داریم (x+۲)+(x−۲)=x²−۴، پس ۲x=x²−۴ و در نتیجه x²−۲x−۴=۰. بنابراین x=۱±√۵. هیچ‌کدام ۲ یا −۲ نیستند و با جای‌گذاری در معادله اولیه نیز پذیرفته می‌شوند؛ پس پاسخ {۱−√۵، ۱+√۵} است.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای بازبینی پاسخ، ابتدا فهرست مقادیر ممنوع را کنار راه‌حل پیدا کنید. سپس بررسی کنید ک.م.م همه مخرج‌ها را پوشش داده باشد، در ضرب طرفین جمله‌ای جا نیفتاده باشد و هر ریشه در معادله اولیه برقرار بماند. در مثال، مخرج‌های دو جواب برابر صفر نیستند و مجموع دو کسر برای هر دو ریشه دقیقاً برابر یک می‌شود.
رایج‌ترین خطا این است که پس از ضرب در مخرج مشترک، شرط x≠۲ و x≠−۲ فراموش شود یا ریشه معادله ساده‌شده بدون جای‌گذاری در عبارت اولیه پذیرفته شود. همچنین نمی‌توان یک عامل مجهولی را جداگانه حذف کرد، چون ممکن است همان عامل برای بعضی مقدارهای مجهول صفر باشد.
جمع‌بندی
حل مطمئن معادله گویا سه کنترل دارد: ثبت مقادیر ممنوع، ضرب دقیق در ک.م.م مخرج‌ها و آزمون همه ریشه‌ها در معادله اصلی. این سه مرحله هم روش حل را کوتاه می‌کند و هم دام جواب‌های نامعتبر را از بین می‌برد.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←