حل سؤال نامعادله کسری؛ جدول علامت و دام صفرِ مخرج
حل سؤال نامعادله کسری با پیدا کردن ریشه‌های صورت و نقاط صفرکننده مخرج آغاز می‌شود؛ سپس با جدول علامت، بازه‌های مجاز را تعیین می‌کنیم و هر نقطه‌ای را که مخرج را صفر می‌کند از جواب حذف می‌کنیم.
حل سؤال نامعادله کسری؛ از کجا شروع کنیم؟
در نامعادله کسری، علامت کل کسر از ضرب علامت صورت و مخرج به دست می‌آید و صفرشدن مخرج همیشه ممنوع است. تفاوت اصلی آن با نامعادله چندجمله‌ای این است که ریشه صورت ممکن است در نامعادله‌های غیرسخت به جواب وارد شود، اما ریشه مخرج حتی در همان حالت نیز حذف می‌شود. روش قابل اتکا، انتقال همه عبارت‌ها به یک طرف، تجزیه صورت و مخرج، مرتب‌کردن نقاط بحرانی و بررسی علامت هر بازه است.
روش گام‌به‌گام
- همه جمله‌ها را به یک طرف منتقل کنید تا نامعادله به شکل یک کسر در برابر صفر قرار بگیرد؛ هنگام انتقال، علامت نامعادله را فقط در صورت ضرب یا تقسیم در عدد منفی عوض کنید.
- صورت و مخرج را تا حد امکان تجزیه کنید و ریشه‌های هرکدام را جداگانه بنویسید؛ ریشه‌های صورت نقاطی هستند که کسر را صفر می‌کنند و ریشه‌های مخرج نقاط ممنوع‌اند.
- نقاط بحرانی را روی محور حقیقی از کوچک به بزرگ مرتب کنید و آن‌ها را با دو نوع علامت مشخص کنید: ریشه صورت با دایره توپرِ قابل‌بررسی و ریشه مخرج با دایره توخالیِ حذف‌شونده.
- در هر بازه فقط یک عدد آزمایشی انتخاب کنید و علامت عامل‌های خطی را در همان نقطه تعیین کنید؛ سپس علامت صورت و مخرج را ترکیب کنید تا علامت کسر به دست آید.
- بازه‌هایی را انتخاب کنید که با < یا ≤ خواسته‌شده سازگارند؛ برای نامعادله‌های سخت، ریشه صورت را در صورت صفر بودن کسر وارد کنید، اما ریشه مخرج را هرگز وارد نکنید.
- اگر عامل تکراری وجود دارد، بدانید توان زوج علامت را هنگام عبور از ریشه عوض نمی‌کند و توان فرد علامت را عوض می‌کند؛ این نکته تعداد آزمون‌های لازم را کاهش می‌دهد.
نامعادله (x−2)/(x+1) ≤ 0 را حل کنید. نقاط بحرانی ۲ از صورت و −۱ از مخرج‌اند. روی محور، بازه‌ها چنین‌اند: برای x<−1، صورت و مخرج هر دو منفی‌اند و کسر مثبت است؛ برای −1<x<2، صورت منفی و مخرج مثبت است و کسر منفی می‌شود؛ برای x>2، هر دو مثبت‌اند و کسر مثبت است. چون علامت منفی یا صفر خواسته شده، بازه −1<x<2 انتخاب می‌شود و x=2 نیز به‌دلیل صفرشدن صورت وارد جواب است، اما x=−1 به‌دلیل صفرشدن مخرج حذف می‌شود. جواب نهایی (−1,2] است.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
پاسخ را با سه کنترل بررسی کنید: ابتدا مقدارهای −۱ و ۲ را در عبارت اصلی آزمایش کنید؛ در x=−۱ عبارت تعریف‌نشده و بنابراین مردود است، و در x=۲ مقدار کسر صفر و قابل‌قبول است. سپس یک عدد مانند ۰ از بازه داخلی و یک عدد مانند ۳ از بازه راست قرار دهید تا علامت‌های منفی و مثبت جدول تأیید شوند. در پایان، بازه انتخابی را با نوع نامساوی ≤ تطبیق دهید.
اشتباه رایج این است که پس از حل جدول علامت، هر دو نقطه بحرانی را داخل جواب بنویسند. در مثال، ۲ چون صورت را صفر می‌کند و نامساوی غیرسخت است وارد می‌شود، اما −۱ چون مخرج را صفر می‌کند همیشه ممنوع است. اشتباه دیگر، عوض‌کردن علامت کسر هنگام عبور از ریشه‌ای با توان زوج است؛ عامل (x−3)^2 در دو طرف ۳ علامت خود را تغییر نمی‌دهد.
جمع‌بندی
برای حل سؤال نامعادله کسری، ریشه‌های صورت و مخرج را با نقش متفاوتشان ثبت کنید، جدول علامت را بر اساس نقاط مرتب بسازید و شرط صفرشدن مخرج را جداگانه کنترل کنید. همین تفکیک، دام اصلیِ واردکردن نقطه ممنوع یا حذف‌کردن ریشه مجاز صورت را برطرف می‌کند.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←