حل سؤال روابط طولی مثلث قائم؛ تشخیص وتر، ارتفاع و تصویرها
حل سؤال روابط طولی مثلث قائم با تشخیص وتر، ارتفاع وارد بر وتر و دو تصویر آغاز می‌شود؛ سپس از رابطه‌های a²=cp، b²=cq و h²=pq استفاده می‌کنیم تا بدون انتخاب فرمول اشتباه به پاسخ برسیم.
حل سؤال روابط طولی مثلث قائم؛ از کجا شروع کنیم؟
در مثلث قائم ABC با زاویه قائم A، اگر ارتفاع AH بر وتر BC فرود آید و پای آن H باشد، وتر به دو قطعه BH=p و HC=q تقسیم می‌شود و BC=c، AC=b، AB=a و AH=h هستند. رابطه‌های اصلی عبارت‌اند از a²=cp، b²=cq، h²=pq و c=p+q. هر رابطه یک الگوی مشخص دارد: مربع هر ضلع قائم برابر حاصل‌ضرب وتر در تصویر همان ضلع است و مربع ارتفاع برابر حاصل‌ضرب دو تصویر وتر.
روش گام‌به‌گام
- ابتدا زاویه قائمه را پیدا کنید؛ ضلع روبه‌روی آن وتر c است و باید از دو ضلع قائم بزرگ‌تر باشد.
- اگر خطی از رأس قائم بر وتر رسم شده است، محل برخورد را H بنامید و دو قطعه وتر را با p و q مشخص کنید؛ همیشه c=p+q است.
- برای ضلع قائمِ مجاور قطعه p، از a²=cp و برای ضلع قائمِ مجاور قطعه q، از b²=cq استفاده کنید؛ جای p و q را با شکل تطبیق دهید، نه با حفظ نام‌ها.
- اگر ارتفاع خواسته شده باشد، رابطه h²=pq را به کار ببرید و فقط ریشه مثبت طول را نگه دارید.
- اگر یک طول مجهول در صورت سؤال وجود دارد، ابتدا کوچک‌ترین رابطه مستقیم را انتخاب کنید؛ برای نمونه با داشتن c و p، محاسبه a از a=√(cp) از ساختن چند معادله اضافی سریع‌تر است.
- در پایان کنترل کنید که p و q جمعشان c باشد، h از هر دو ضلع قائم کوچک‌تر باشد و دو رابطه a²=cp و b²=cq با نام‌گذاری شکل سازگار بمانند.
در مثلث قائم ABC، زاویه A قائمه و ارتفاع AH بر وتر BC فرود آمده است. اگر BH=4 و HC=9 باشد، طول‌های BC و AH را بیابید. چون BC=BH+HC، داریم BC=13. از رابطه ارتفاع استفاده می‌کنیم: AH²=BH×HC=4×9=36، پس AH=6. کنترل: ارتفاع 6 از وتر 13 کوچک‌تر است و پاسخ با تقسیم وتر به دو تصویر 4 و 9 سازگار است.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای بازبینی هر پاسخ، ابتدا نام‌گذاری را روی شکل بنویسید: وتر، دو تصویر و ارتفاع. سپس یک رابطه طولی را با داده‌های مسئله جای‌گذاری کنید و رابطه دوم را برای کنترل به کار ببرید. در مثال بالا، از AH²=4×9 به AH=6 رسیدیم؛ همچنین قاعده همنهشتی مساحت‌ها می‌گوید حاصل‌ضرب دو ضلع قائم برابر حاصل‌ضرب وتر و ارتفاع است، بنابراین اگر طول‌های دیگری داده شوند، باید با همین ساختار سازگار باشند.
رایج‌ترین دام، استفاده از a²=cq برای ضلعی است که تصویرش p است؛ تصویر هر ضلع، قطعه‌ای از وتر است که کنار پای آن ضلع قرار دارد. دام دیگر این است که طول وتر را یکی از تصویرها بگیرند و رابطه c=p+q را ننویسند. در محاسبه ارتفاع نیز پاسخ منفی پذیرفتنی نیست، چون طول هندسی باید ریشه مثبت باشد.
جمع‌بندی
در حل سؤال روابط طولی مثلث قائم، ترتیب مطمئن این است: زاویه قائم و وتر را مشخص کنید، وتر را به دو تصویر تقسیم کنید، سپس از c=p+q، a²=cp، b²=cq و h²=pq متناسب با داده‌ها استفاده کنید. تطبیق هر ضلع با تصویر مجاورش، خطای جابه‌جایی p و q را از بین می‌برد.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←