مشتق و شیب خط مماس را چطور در تست تشخیص دهیم؟
در بسیاری از تست‌های حسابان، مشتق همان زبان عددی تغییرات تابع است و شیب خط مماس را در یک نقطه مشخص می‌کند.
مشتق و شیب مماس؛ از کجا شروع کنیم؟
در نقطه‌ای با طول مختصات x=a، مقدار f(a) ارتفاع نقطه تماس و f'(a) شیب خط مماس بر نمودار تابع است. اگر معادله مماس خواسته شود، ابتدا نقطه تماس (a، f(a)) و سپس شیب f'(a) را به‌دست می‌آوریم و از رابطه y-f(a)=f'(a)(x-a) استفاده می‌کنیم. اگر تابع به‌صورت ضمنی داده شده باشد، مشتق‌گیری ضمنی و سپس جای‌گذاری مختصات نقطه برای تعیین شیب لازم است.
روش گام‌به‌گام
- صورت سؤال را بررسی کنید و مشخص کنید خواسته، شیب مماس است یا معادله کامل خط مماس؛ این دو پاسخ یکسان نیستند.
- اگر نقطه تماس x=a داده شده است، f'(a) را محاسبه کنید؛ همین مقدار مستقیماً شیب مماس است.
- برای نوشتن معادله، مقدار f(a) را نیز بیابید تا نقطه تماس (a، f(a)) کامل شود.
- مقادیر نقطه تماس و شیب را در رابطه y-f(a)=f'(a)(x-a) قرار دهید و در صورت نیاز معادله را ساده کنید.
- اگر نقطه با مختصات کامل داده شده یا تابع ضمنی است، همان مختصات را برای تعیین شیب و کنترل سازگاری در مشتق جای‌گذاری کنید.
- در پایان، علامت و مقدار شیب را با رفتار نمودار مقایسه کنید؛ مماس صعودی شیب مثبت و مماس نزولی شیب منفی دارد.
اگر f'(2)=5 باشد، شیب مماس بر نمودار تابع در x=2 برابر ۵ است؛ برای نوشتن معادله مماس، نقطه تماس و این شیب را در فرم خط قرار می‌دهیم.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای کنترل پاسخ، بررسی کنید که f'(a) به‌عنوان شیب استفاده شده باشد، نه f(a). در معادله مماس باید x-a ظاهر شود و مقدار ثابت تابع باید f(a) باشد. همچنین اگر شیب صفر باشد، مماس افقی است و اگر مقدار مشتق تعریف‌نشده باشد، نمی‌توان آن را با فرمول معمول خط مماس نوشت.
مقدار تابع و مقدار مشتق یکی نیستند؛ f(2) ارتفاع نقطه را می‌دهد اما f'(2) شیب نمودار را مشخص می‌کند.
جمع‌بندی
در تست‌های مشتق و مماس، f'(a) پاسخ مستقیمِ شیب در x=a است؛ اما برای معادله خط، باید f(a) را نیز پیدا کرد و رابطه نقطه‌شیب را به‌کار برد. تفکیک این دو مقدار، هسته اصلی تشخیص و حل این نوع سؤال‌هاست.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←