حل سؤال اصل جمع و ضرب؛ تشخیص روش درست در شمارش
حل سؤال اصل جمع و ضرب با تشخیص یک پرسش کلیدی شروع می‌شود: حالت‌ها جایگزین هم‌اند یا مرحله‌های یک انتخاب؟ برای حالت‌های جدا از هم جمع و برای انتخاب‌های پشت‌سرهم ضرب به کار می‌رود؛ همین تمایز مانع دوباره‌شماری یا کم‌شماری می‌شود.
حل سؤال اصل جمع و ضرب؛ از کجا شروع کنیم؟
اصل جمع زمانی کاربرد دارد که مسئله به چند حالت ناسازگار تقسیم شود و انتخاب از یکی از آن حالت‌ها انجام گیرد. اصل ضرب زمانی به کار می‌رود که یک انتخاب چند مرحله متوالی داشته باشد و هر انتخاب مرحله بعد را کامل کند. در مسائل ترکیبی، ابتدا حالت‌های اصلی را با جمع جدا می‌کنیم و سپس تعداد انتخاب‌های هر حالت را با ضرب به دست می‌آوریم.
روش گام‌به‌گام
- صورت سؤال را به زبان انتخاب بازنویسی کنید: آیا باید یکی از چند مسیر جدا را انتخاب کنیم یا همه مرحله‌های یک مسیر را پشت سر بگذاریم؟
- اگر هیچ نتیجه‌ای هم‌زمان در دو حالت قرار نمی‌گیرد، حالت‌ها را جدا کنید و تعداد هر حالت را با اصل جمع کنار هم بگذارید.
- اگر یک نتیجه از چند تصمیم پیاپی ساخته می‌شود، تعداد گزینه‌های مرحله اول، دوم و مراحل بعد را در هم ضرب کنید.
- در مسئله‌ای که هم شاخه‌بندی و هم مرحله‌بندی دارد، ابتدا داخل هر شاخه ضرب کنید و سپس حاصل شاخه‌های ناسازگار را جمع کنید.
- پیش از ثبت پاسخ، بررسی کنید که دو حالت جمع‌شده هم‌پوشانی نداشته باشند؛ اگر هم‌پوشانی دارند، شمارش مستقیم یا اصل متمم لازم است.
- برای کنترل نتیجه، یک نمونه کوچک از حالت‌ها بنویسید و ببینید آیا هر حالت دقیقاً یک‌بار شمرده شده است.
یک رمز سه‌رقمی را در نظر بگیرید که یا با عددی از مجموعه {۱،۲،۳،۴} شروع می‌شود و دو رقم بعدی آن هرکدام یکی از {۰،۵} هستند، یا با عددی از مجموعه {۷،۸} شروع می‌شود و دو رقم بعدی آن هرکدام یکی از {۲،۳،۴} هستند. دو شاخه جایگزین هم‌اند. شاخه اول ۴×۲×۲=۱۶ حالت و شاخه دوم ۲×۳×۳=۱۸ حالت دارد؛ بنابراین تعداد رمزها ۱۶+۱۸=۳۴ است.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای بازبینی این حل، ابتدا دو شاخه را به دلیل تفاوت رقم اول از هم جدا کنید. در هر شاخه، رقم‌ها به‌ترتیب انتخاب می‌شوند و تعداد انتخاب‌های مستقل در هم ضرب می‌شود. چون هیچ رمز سه‌رقمی نمی‌تواند هم‌زمان رقم اول خود را از مجموعه اول و مجموعه دوم بگیرد، جمع ۱۶ و ۱۸ دوباره‌شماری ایجاد نمی‌کند.
اشتباه رایج این است که همه عددهای موجود در دو مجموعه را یک‌جا ضرب کنیم و به ۶×۲×۲×۳×۳ برسیم؛ این کار شاخه‌های جایگزین را هم‌زمان فرض می‌کند. خطای دیگر جمع‌کردن ۴+۲+۲ در شاخه اول است، در حالی که سه رقم رمز پشت‌سرهم انتخاب می‌شوند و باید ضرب شوند.
جمع‌بندی
در حل سؤال اصل جمع و ضرب، «یا» معمولاً نشانه جمع و «و سپس» نشانه ضرب است؛ اما این واژه‌ها باید با ساختار واقعی مسئله بررسی شوند. شاخه‌های ناسازگار را جدا کنید، مرحله‌های هر شاخه را ضرب کنید و در پایان فقط شاخه‌های بدون هم‌پوشانی را با هم جمع کنید.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←