حل سؤال احتمال کل؛ تشخیص مخرج درست در مسائل چندمرحله‌ای
حل سؤال احتمال کل زمانی درست پیش می‌رود که فضای حالت را به چند حالت ناسازگار و کامل تقسیم کنید، احتمال هر حالت را در احتمال رخداد موردنظر در همان حالت ضرب کنید و حاصل‌ها را با هم جمع بزنید؛ خطای اصلی، جمع‌کردن احتمال‌های شرطی بدون وزن‌دادن به احتمال وقوع حالت‌هاست.
حل سؤال احتمال کل؛ از کجا شروع کنیم؟
در مسائل احتمال کل، یک رخداد مانند قبولی، خرابی یا انتخاب رنگ از چند مسیر متفاوت رخ می‌دهد. اگر حالت‌های B۱ تا Bn دو به دو ناسازگار باشند و همه حالت‌های ممکن را پوشش دهند، احتمال رخداد A از رابطه P(A)=P(B۱)P(A|B۱)+...+P(Bn)P(A|Bn) به دست می‌آید. بنابراین ابتدا باید شاخه‌های مسئله را از متن استخراج کرد، سپس احتمال هر شاخه و احتمال رخداد درون همان شاخه را جدا نوشت.
روش گام‌به‌گام
- رخداد نهایی خواسته‌شده را با A نام‌گذاری کنید؛ برای نمونه «قطعه انتخاب‌شده معیوب است».
- حالت‌های زمینه‌ای را مشخص کنید؛ مثلاً قطعه از خط تولید اول، دوم یا سوم آمده باشد. این حالت‌ها باید هم‌پوشانی نداشته باشند و مجموع احتمالشان برابر یک شود.
- برای هر حالت، احتمال وقوع زمینه را بنویسید؛ این مقدار وزن آن شاخه است و نباید با احتمال شرطی رخداد نهایی اشتباه شود.
- در هر شاخه، احتمال رخداد نهایی را به‌صورت شرطی تعیین کنید؛ یعنی فقط میان اعضای همان حالت بررسی کنید.
- احتمال زمینه هر شاخه را در احتمال شرطی همان شاخه ضرب کنید تا سهم آن شاخه از رخداد نهایی به دست آید.
- سهم همه شاخه‌ها را جمع کنید و در پایان بررسی کنید که نتیجه بین صفر و یک باشد و اگر لازم است با روش متمم کنترلش کنید.
سه دستگاه به‌ترتیب ۰٫۵، ۰٫۳ و ۰٫۲ از کل تولید را انجام می‌دهند. احتمال تولید قطعه معیوب در آن‌ها به‌ترتیب ۰٫۰۲، ۰٫۰۵ و ۰٫۰۱ است. احتمال معیوب بودن قطعه‌ای که تصادفی انتخاب شده برابر است با (۰٫۵×۰٫۰۲)+(۰٫۳×۰٫۰۵)+(۰٫۲×۰٫۰۱)=۰٫۰۱+۰٫۰۱۵+۰٫۰۰۲=۰٫۰۲۷؛ پس پاسخ ۰٫۰۲۷ یا ۲٫۷ درصد است.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای کنترل پاسخ، ابتدا مجموع سهم دستگاه‌ها را بررسی کنید: ۰٫۵+۰٫۳+۰٫۲=۱. سپس هر سهم را جداگانه محاسبه کنید و مطمئن شوید احتمال شرطی هر دستگاه در وزن همان دستگاه ضرب شده است. کنترل متمم نیز ممکن است: احتمال سالم بودن قطعه ۰٫۹۷۳ است و جمع آن با ۰٫۰۲۷ برابر یک می‌شود.
رایج‌ترین دام این است که احتمال‌های ۰٫۰۲، ۰٫۰۵ و ۰٫۰۱ را مستقیماً با هم جمع و بر سه تقسیم کنیم؛ این کار فقط وقتی مجاز است که سهم سه دستگاه برابر باشد. خطای دیگر، استفاده از احتمال معیوب‌بودن کل تولید به‌جای احتمال شرطی هر دستگاه یا جمع‌کردن شاخه‌هایی است که یکدیگر را پوشش نمی‌دهند.
جمع‌بندی
برای حل سؤال احتمال کل، متن را به درختی از حالت‌های کامل و ناسازگار تبدیل کنید. هر شاخه یک وزن زمینه و یک احتمال شرطی دارد؛ حاصل‌ضرب این دو سهم شاخه است و جمع سهم‌ها پاسخ نهایی را می‌سازد. اگر شاخه‌ها کامل باشند و وزن‌دهی حذف نشود، مخرج و احتمال نهایی به‌درستی تعیین می‌شوند.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←