حل سؤال استقلال پیشامدها؛ تشخیص سریع از روی احتمال اشتراک
حل سؤال استقلال پیشامدها با مقایسهٔ احتمال اشتراک با حاصل‌ضرب احتمال‌های دو پیشامد انجام می‌شود: اگر P(A∩B)=P(A)P(B) باشد، دو پیشامد مستقل‌اند؛ در غیر این صورت، مستقل نیستند. این معیار جلوی اشتباه گرفتن استقلال با ناسازگاری را می‌گیرد.
حل سؤال استقلال پیشامدها؛ از کجا شروع کنیم؟
برای بررسی استقلال، ابتدا احتمال‌های P(A)، P(B) و P(A∩B) را از صورت سؤال به‌دست آورید و سپس رابطهٔ P(A∩B)=P(A)P(B) را آزمایش کنید. اگر احتمال شرطی داده شده باشد، مقایسهٔ P(A|B) با P(A) نیز کافی است. ناسازگاری معیار دیگری دارد: A∩B=∅؛ بنابراین دو پیشامد ناسازگار با احتمال مثبت نمی‌توانند مستقل باشند.
روش گام‌به‌گام
- پیشامدهای A و B را دقیق تعریف کنید و مشخص کنید اشتراک آن‌ها چه حالت‌هایی است.
- P(A)، P(B) و P(A∩B) را با شمارش حالت‌های هم‌شانس یا اطلاعات مسئله محاسبه کنید.
- حاصل‌ضرب P(A)P(B) را به‌دست آورید و با P(A∩B) مقایسه کنید.
- اگر دو مقدار برابر بودند، استقلال برقرار است؛ اگر برابر نبودند، پیشامدها وابسته‌اند.
- اگر سؤال از احتمال شرطی استفاده کرد، P(A|B) را با P(A) مقایسه کنید؛ برابری این دو مقدار نشانهٔ استقلال است.
- در گزینه‌های ناسازگار، ابتدا اشتراک را بررسی کنید و آن را به‌اشتباه معادل استقلال نگیرید.
یک تاس سالم می‌اندازیم. A پیشامدِ زوج آمدن و B پیشامدِ بزرگ‌تر از ۳ آمدن است. داریم P(A)=3/6=1/2، P(B)=3/6=1/2 و A∩B={۴،۶}، پس P(A∩B)=2/6=1/3 است. چون 1/3 با (1/2)(1/2)=1/4 برابر نیست، A و B مستقل نیستند. همچنین A و B ناسازگار هم نیستند، چون ۴ و ۶ در هر دو پیشامد قرار دارند.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
در پاسخ نهایی باید سه مقدار P(A)، P(B) و P(A∩B) و همچنین حاصل‌ضرب P(A)P(B) جداگانه نوشته شوند. برابری این دو مقدار نتیجهٔ استقلال را تأیید می‌کند؛ صرفاً جدا بودن تعریف دو پیشامد یا نامرتبط به‌نظر رسیدن آن‌ها کافی نیست.
رایج‌ترین خطا این است که ناسازگاری با استقلال یکی گرفته شود. مثلاً اگر A و B ناسازگار باشند، P(A∩B)=0 است؛ اما وقتی هر دو احتمال مثبت‌اند، P(A)P(B)>0 خواهد بود و رابطهٔ استقلال برقرار نمی‌شود.
جمع‌بندی
برای حل سؤال استقلال پیشامدها، اشتراک را پیدا کنید، احتمال آن را با حاصل‌ضرب احتمال‌های منفرد مقایسه کنید و سپس ناسازگاری را جداگانه بررسی کنید. این دو مرحله، دام اصلی گزینه‌هایی را که فقط از واژه‌های مشابه استفاده می‌کنند آشکار می‌کند.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←