حل سؤال مساحت مثلث با سینوس؛ تشخیص ضلع و زاویه درست
حل سؤال مساحت مثلث با سینوس زمانی سریع و دقیق است که دو ضلعِ معلوم و زاویهٔ بین همان دو ضلع را پیدا کنید؛ سپس از رابطهٔ مساحت برابر یک‌دوم حاصل‌ضرب دو ضلع در سینوس زاویهٔ بین آن‌ها استفاده کنید و زاویهٔ روبه‌روی ضلع را اشتباه نگیرید.
حل سؤال مساحت مثلث با سینوس؛ از کجا شروع کنیم؟
فرمول مساحت مثلث به‌صورت S=۱/۲ ab sin C زمانی کاربرد دارد که a و b دو ضلع متصل به رأس C باشند؛ بنابراین C باید زاویهٔ محصور بین همان دو ضلع باشد. اگر دو ضلع داده‌شده در یک رأس به هم نرسند، نمی‌توان سینوس زاویهٔ دیگری را بدون بررسی وارد فرمول کرد. همچنین زاویهٔ مکمل همان سینوس را دارد، اما در شکل مثلث باید همچنان زاویه‌ای باشد که دو ضلع انتخاب‌شده آن را محصور کرده‌اند.
روش گام‌به‌گام
- دو ضلعی را که طولشان داده شده مشخص کنید و رأس مشترک آن‌ها را پیدا کنید.
- زاویهٔ بین همان دو ضلع را از شکل یا متن جدا کنید؛ زاویهٔ روبه‌روی ضلع سوم برای این فرم مستقیم فرمول مناسب نیست.
- رابطه S=۱/۲ ab sin C را بنویسید و پیش از جایگذاری بررسی کنید که a و b واقعاً دو ضلع مجاور C باشند.
- اگر زاویهٔ داده‌شده برحسب درجه است، مقدار سینوس آن را با توجه به زاویه‌های شناخته‌شده یا محاسبهٔ دقیق به دست آورید.
- حاصل‌ضرب دو ضلع و سینوس زاویه را در یک‌دوم ضرب کنید و واحد مساحت را حفظ کنید.
- پاسخ را با حدود هندسی کنترل کنید: مساحت باید از یک‌دوم حاصل‌ضرب دو ضلع انتخاب‌شده بیشتر نشود و با باز بودن یا تند بودن زاویه سازگار باشد.
در مثلث ABC، دو ضلع AB=۸ و AC=۵ و زاویهٔ BAC=۳۰ درجه است. چون زاویهٔ داده‌شده بین AB و AC قرار دارد، از فرمول S=۱/۲×AB×AC×sin(BAC) استفاده می‌کنیم: S=۱/۲×۸×۵×۱/۲=۱۰. اگر به‌جای زاویهٔ BAC، زاویهٔ B یا C را در فرمول بگذاریم، دیگر زاویهٔ بین دو ضلع ۸ و ۵ را استفاده نکرده‌ایم و پاسخ نادرست می‌شود.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای بازبینی، سه پرسش بپرسید: آیا دو طول انتخاب‌شده در یک رأس مشترک‌اند؟ آیا زاویهٔ سینوسی در همان رأس قرار دارد؟ آیا مقدار نهایی از ۱/۲ ab بیشتر نیست؟ در مثال، دو ضلع ۸ و ۵ در رأس A مشترک‌اند، زاویهٔ ۳۰ درجه نیز در A است و مساحت ۱۰ از ۲۰، یعنی نصف حاصل‌ضرب دو ضلع، بیشتر نیست.
رایج‌ترین دام، استفاده از سینوس زاویهٔ روبه‌روی یکی از دو ضلع داده‌شده است؛ این کار فقط وقتی معتبر است که ابتدا با روابط دیگر، جفت ضلع و زاویهٔ سازگار ساخته شده باشد. دام دوم حذف کردن ضریب یک‌دوم و به‌دست‌آوردن ۲۰ به‌جای ۱۰ در مثال بالا است.
جمع‌بندی
برای این تیپ سؤال، ابتدا جفت ضلعِ دارای رأس مشترک را پیدا کنید، سپس سینوس همان زاویهٔ محصور را به کار ببرید. تطبیق رأس زاویه با دو ضلع و کنترل ضریب یک‌دوم، دو خطای اصلی انتخاب فرمول و محاسبه را برطرف می‌کند.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←