حل سؤال معادله لگاریتمی؛ شرط تعریف و حذف جواب‌های اضافی
حل سؤال معادله لگاریتمی را با نوشتن شرط تعریف هر لگاریتم آغاز کنید؛ سپس با یکسان‌سازی پایه یا تبدیل لگاریتم به فرم توانی، معادله را حل کنید و در پایان همه جواب‌ها را در شرط‌های اولیه بیازمایید تا جواب اضافی باقی نماند.
حل سؤال معادله لگاریتمی؛ از کجا شروع کنیم؟
در معادله لگاریتمی، حل جبری بدون کنترل دامنه کافی نیست. برای هر عبارت لگاریتمی، آرگومان باید مثبت و پایه باید مثبت و نابرابر با یک باشد. اگر چند لگاریتم با پایه یکسان دارید، پس از بررسی شرط تعریف می‌توانید آرگومان‌ها را برابر کنید؛ اما اگر پایه‌ها متفاوت باشند، ابتدا باید تغییر پایه، تبدیل به فرم توانی یا مقایسه مناسب را انتخاب کنید. بخش حساس سؤال معمولاً حذف ریشه‌ای است که در مرحله جابه‌جایی یا توان‌رسانی به دست آمده اما یکی از آرگومان‌های لگاریتم را نامثبت می‌کند.
روش گام‌به‌گام
- برای تمام لگاریتم‌های موجود، شرط‌های آرگومان مثبت و پایه معتبر را جداگانه بنویسید و اشتراک آن‌ها را به دست آورید.
- ساختار معادله را تشخیص دهید: لگاریتم‌های هم‌پایه، یک لگاریتم برابر عدد، یا لگاریتم‌هایی با پایه‌های متفاوت.
- در حالت هم‌پایه، پس از تأیید شرط تعریف از برابری آرگومان‌ها استفاده کنید؛ برابر دانستن آرگومان‌ها پیش از این مرحله می‌تواند ریشه نامعتبر بسازد.
- برای رابطه‌ای مانند log_a(F(x))=c، آن را به F(x)=a^c تبدیل کنید و شرط F(x)>0 را همچنان نگه دارید.
- اگر دو لگاریتم هم‌پایه در دو طرف معادله‌اند، آرگومان‌ها را برابر کنید؛ اگر پایه‌ها متفاوت‌اند، بی‌دلیل آن‌ها را برابر نگیرید و ابتدا تغییر پایه یا تبدیل مناسب را بررسی کنید.
- هر ریشه عددی را در معادله اصلی و نه فقط در معادله تبدیل‌شده جای‌گذاری کنید؛ ریشه‌ای که آرگومان لگاریتم را صفر یا منفی کند حذف می‌شود.
معادله log_2(x-1)+log_2(x-3)=3 را حل کنید. شرط تعریف x-1>0 و x-3>0 است، پس x>3. با جمع لگاریتم‌ها داریم log_2((x-1)(x-3))=3، بنابراین (x-1)(x-3)=8. از بسط، x²-4x-5=0 و در نتیجه x=5 یا x=-1. چون شرط اولیه x>3 است، x=-1 حذف می‌شود و پاسخ نهایی x=5 است؛ جای‌گذاری نیز نشان می‌دهد log_2(4)+log_2(2)=2+1=3.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای بازبینی پاسخ، ابتدا کنترل کنید که همه شرط‌های تعریف نوشته شده باشند، سپس بررسی کنید تبدیل اصلی در همان جهت معتبر انجام شده است. در مثال، شرط مشترک x>3 پیش از حل تعیین شد و از دو ریشه جبری فقط 5 در این بازه قرار گرفت. کنترل مستقیم نیز مقدار دو لگاریتم را به عدد سمت راست می‌رساند.
برابر گرفتن آرگومان‌های دو لگاریتم بدون بررسی هم‌پایه بودن، استفاده از قانون جمع برای پایه‌های متفاوت، و پذیرفتن همه ریشه‌های معادله درجه‌دوم سه خطای مشخص این مبحث‌اند. در مثال بالا، ریشه -1 به دلیل منفی شدن آرگومان‌ها پاسخ معادله اصلی نیست.
جمع‌بندی
حل مطمئن معادله لگاریتمی سه مرحله دارد: تعیین شرط تعریف، انتخاب تبدیل متناسب با ساختار معادله و آزمون ریشه‌ها در رابطه اصلی. شرط تعریف بخشی از خود پاسخ است و حذف ریشه نامعتبر باید پس از حل جبری انجام شود.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←