حل سؤال تبدیل نمودار تابع؛ تشخیص ترتیب جابه‌جایی‌ها بدون خطای علامت
حل سؤال تبدیل نمودار تابع زمانی سریع و مطمئن می‌شود که تغییرهای بیرونیِ نمودار را از تغییرهای داخل ورودی جدا کنید: در y=f(x-a)+b، ابتدا نمودار به اندازه a واحد به راست و سپس b واحد به بالا می‌رود؛ اما در y=f(a x)، مقیاس افقی با ضریب a به‌صورت معکوس تغییر می‌کند.
حل سؤال تبدیل نمودار تابع؛ از کجا شروع کنیم؟
در این مبحث، هدف پیدا کردن نمودار یا مختصات نقطه‌های تابعی مانند g(x)=A f(B(x-h))+k است، بدون اینکه علامت‌ها و ضریب‌های افقی با هم اشتباه شوند. اگر نقطه (u,v) روی y=f(x) باشد، نقطه متناظر روی نمودار g، یعنی g(x)=A f(B(x-h))+k، از رابطه x=h+u/B و y=Av+k به‌دست می‌آید. این تبدیل نقطه‌ای، روش امن حل سؤال‌های چندمرحله‌ای است و از حفظ‌کردن جداگانه چند قاعده جلوگیری می‌کند.
روش گام‌به‌گام
- نمودار پایه را y=f(x) و نقطه داده‌شده را (u,v) بنویسید؛ هر نقطه باید قبل از تبدیل، مختصات مشخص داشته باشد.
- تغییر افقی را از داخل تابع جدا کنید: در f(B(x-h))، مختصات افقی نقطه به h+u/B تبدیل می‌شود؛ بنابراین ضریب داخل پرانتز مستقیماً در مختصات جدید ضرب نمی‌شود.
- تغییر عمودی را از بیرون تابع بخوانید: ضریب A مقدار y را به Av و عدد k مقدار نهایی را به Av+k تبدیل می‌کند.
- اگر عبارت داخل تابع به شکل Bx+C است، آن را B(x+C/B) بنویسید تا جابه‌جایی افقی h=-C/B آشکار شود.
- برای سؤال چندتبدیلی، هر نقطه را با همان رابطه نهایی تبدیل کنید و در پایان یک نقطه ساده، معمولاً رأس یا محل برخورد با محور، را برای کنترل علامت‌ها دوباره بررسی کنید.
فرض کنید نقطه (2,3) روی نمودار y=f(x) باشد و g(x)=-2f(3(x-1))+4. در اینجا A=-2، B=3، h=1 و k=4 است. پس x جدید برابر 1+2/3 و y جدید برابر -2×3+4=-2 می‌شود؛ بنابراین نقطه متناظر روی نمودار g برابر (5/3,-2) است. توجه کنید اگر ضریب 3 را به‌جای تقسیم، در 2 ضرب کنیم، مختصات افقی نادرستِ 7 به‌دست می‌آید.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای کنترل پاسخ، عبارت را به دو بخش بیرونی و درونی تقسیم کنید. در مثال بالا، منفیِ بیرون تابع باید انعکاس عمودی و ضریب 2 باید کشیدگی عمودی بسازد؛ عدد 3 داخل پرانتز باید فاصله افقی نقطه از x=1 را یک‌سوم کند. همچنین با قرار دادن x=5/3 داریم 3(x-1)=2 و g(5/3)=-2f(2)+4=-2، پس نقطه به‌دست‌آمده با خود تابع سازگار است.
دام اصلی این است که دانش‌آموز در f(3x) مختصات افقی را سه برابر می‌کند، در حالی که برای رسیدن آرگومان به u باید 3x=u و در نتیجه x=u/3 باشد. دام دوم، تبدیل f(x-2) به انتقال چپ است؛ چون x-2=u یعنی x=u+2، این نمودار دو واحد به راست منتقل می‌شود.
جمع‌بندی
در حل سؤال تبدیل نمودار تابع، به‌جای حفظ فهرست علامت‌ها، نقطه پایه (u,v) را به رابطه x=h+u/B و y=Av+k منتقل کنید. این روش هم ترتیب تغییرها را روشن می‌کند و هم خطای رایجِ ضرب‌کردن مختصات افقی در ضریب داخل تابع را حذف می‌کند.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←