حل سؤال تابع قدر مطلق؛ تشخیص حالت‌ها و انتخاب روش درست
حل سؤال تابع قدر مطلق با تشخیص نقاط تغییر علامت آغاز می‌شود؛ عبارت داخل هر قدرمطلق را صفر کنید، محور را به بازه‌ها تقسیم کنید و در هر بازه علامت درست را جایگزین کنید.
حل سؤال تابع قدر مطلق؛ از کجا شروع کنیم؟
در سؤال‌های تابع قدر مطلق، خطای اصلی معمولاً حذف یک حالت یا استفاده از علامت نادرست در یک بازه است. برای هر عبارت |u(x)|، نقطه‌های u(x)=0 مرز حالت‌ها هستند؛ سپس باید در هر بازه مشخص شود u(x) مثبت است یا منفی. در معادله‌ها، جواب‌های به‌دست‌آمده باید در شرط همان بازه و در عبارت اصلی بررسی شوند؛ در نامعادله‌ها نیز اجتماع یا اشتراک بازه‌های معتبر تعیین‌کننده پاسخ نهایی است.
روش گام‌به‌گام
- همه عبارت‌های داخل قدرمطلق را جدا کنید و ریشه هرکدام را به‌عنوان نقطه بحرانی بنویسید.
- نقاط بحرانی را روی محور مرتب کنید تا بازه‌های بدون تغییر علامت ساخته شوند.
- در هر بازه، علامت عبارت داخلی را تعیین کنید؛ اگر منفی بود، |u(x)| را به -u(x) و اگر مثبت بود به u(x) تبدیل کنید.
- معادله یا نامعادله حاصل را فقط با شرط همان بازه حل کنید و جواب‌های خارج از آن بازه را کنار بگذارید.
- اگر چند قدرمطلق دارید، جدول علامت مشترک بسازید؛ تقسیم‌بندی باید بر اساس تمام نقاط بحرانی انجام شود.
- در پایان، جواب‌ها را در صورت سؤال اصلی جای‌گذاری کنید و برای نامعادله‌ها مرزهای باز و بسته را با توجه به < یا ≤ کنترل کنید.
سؤال: نامعادله |x-2|>3 را حل کنید. نقطه بحرانی x=2 است. برای x≥2، عبارت x-2 مثبت است و نامعادله x-2>3 به x>5 می‌رسد. برای x<2، عبارت x-2 منفی است و نامعادله -(x-2)>3 به x<−1 می‌رسد. هر دو نتیجه با شرط بازه سازگارند؛ بنابراین پاسخ x<−1 یا x>5 است. توجه کنید که چون علامت نامعادله بزرگ‌ترِ strict است، دو مرز −1 و 5 در پاسخ وارد نمی‌شوند.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای بازبینی این مبحث، ابتدا بررسی کنید همه صفرهای عبارت‌های داخلی پیدا شده باشند. سپس هر جواب را هم از نظر معادله یا نامعادله و هم از نظر بازه‌ای که در آن به دست آمده کنترل کنید. در مثال بالا، جای‌گذاری x=0 نشان می‌دهد |−2|>3 نادرست است، درحالی‌که x=6 شرط |4|>3 را برقرار می‌کند؛ این کنترل، جهت بازه‌ها را تأیید می‌کند.
رایج‌ترین دام، تبدیل فوری |x-2| به x-2 بدون بررسی علامت x-2 است. دام دیگر، حل دو حالت و نگه‌داشتن جواب‌هایی است که شرط بازه مربوط به خود را ندارند. در نامعادله‌ها نیز برابر دانستن مرز با جواب، وقتی علامت سؤال strict است، پاسخ را نادرست می‌کند.
جمع‌بندی
روش مطمئن حل سؤال تابع قدر مطلق، ساختن جدول حالت‌ها بر پایه نقاط صفر عبارت‌های داخلی است. با رعایت شرط هر بازه و جای‌گذاری نهایی، هم حذف حالت‌ها و هم انتخاب نادرست مرزها کنترل می‌شود.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←