راهنمای حل معادله درجه سه با روش تجزیه
برای حل بسیاری از معادلات درجه سه دبیرستان لازم نیست سراغ روش‌های پیچیده برویم؛ پیدا کردن یک ریشه ساده و تجزیه چندجمله‌ای معمولاً کوتاه‌ترین مسیر است.
حل معادله درجه سه؛ از کجا شروع کنیم؟
در معادله درجه سه، هدف تبدیل چندجمله‌ای به حاصل‌ضرب عامل‌های ساده‌تر است تا با استفاده از خاصیت صفر شدن حاصل‌ضرب، هر ریشه جداگانه به دست آید. در بسیاری از سؤال‌ها، گروه‌بندی جمله‌ها یا آزمون ریشه‌های صحیح، عامل خطی مناسب را آشکار می‌کند؛ سپس تقسیم چندجمله‌ای یا تجزیه درجه دو، حل را کامل می‌سازد.
روش گام‌به‌گام
- همه جمله‌های معادله را به یک طرف منتقل کنید تا یک چندجمله‌ای درجه سه برابر صفر به دست آید و علامت جمله‌های منتقل‌شده را دوباره بررسی کنید.
- اگر چهار جمله وجود دارد، جمله‌ها را به دو گروه دوتایی تقسیم کنید و از هر گروه عامل مشترک بگیرید؛ در صورت یکسان شدن عامل‌های داخل پرانتز، تجزیه کامل می‌شود.
- اگر گروه‌بندی مستقیم جواب نداد، مقسوم‌علیه‌های جمله ثابت را به‌عنوان ریشه‌های صحیح احتمالی بررسی کنید؛ با جای‌گذاری هر عدد، صفر شدن چندجمله‌ای را بیازمایید.
- پس از یافتن ریشه r، عامل x−r را تشکیل دهید و چندجمله‌ای را بر آن تقسیم کنید تا عامل درجه دو باقی‌مانده به دست آید.
- عامل درجه دو را با تجزیه، اتحادها یا فرمول حل معادله درجه دو حل کنید و تمام ریشه‌ها را در یک مجموعه ثبت کنید.
- هر ریشه را در معادله اصلی جای‌گذاری کنید تا هم درستی تجزیه و هم علامت ریشه‌های نهایی تأیید شود.
در معادله x³+x²−16x−16=0، گروه‌بندی جمله‌ها عبارت را به (x+1)(x−4)(x+4) تبدیل می‌کند؛ پس ریشه‌ها ۱−، ۴ و ۴− هستند.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
در این روش، نقطه کنترل اصلی پس از انتقال جمله‌ها و نیز پس از تجزیه نهایی است. اگر عامل به‌دست‌آمده x−r باشد، ریشه متناظر دقیقاً r است؛ بنابراین عامل x+1 ریشه −۱ و عامل x−4 ریشه ۴ را نشان می‌دهد. حاصل‌ضرب عامل‌های نهایی باید با جمله‌های چندجمله‌ای اولیه، از نظر ضریب جمله درجه سه، جمله‌های میانی و جمله ثابت، یکسان باشد.
رایج‌ترین خطا، عوض نکردن علامت جمله‌ای است که از یک طرف معادله به طرف دیگر منتقل می‌شود.
جمع‌بندی
حل معادله درجه سه با تجزیه زمانی سریع و مطمئن است که ابتدا چندجمله‌ای به‌درستی به صفر منتقل شود، سپس عامل مناسب با گروه‌بندی یا آزمون ریشه پیدا شود و در پایان همه عامل‌ها و ریشه‌ها با معادله اصلی کنترل شوند. در این مسیر، علامت عامل خطی و علامت ریشه متناظر را جداگانه بررسی کنید.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←