رابطه ضرایب و ریشه‌های معادله درجه سه
روابط ویتا راهی سریع برای کنترل مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های یک معادله درجه سه فراهم می‌کنند.
رابطه ضرایب و ریشه‌ها؛ از کجا شروع کنیم؟
برای معادله یکه x³+ax²+bx+c=0 با ریشه‌های r، s و t، روابط ویتا به صورت r+s+t=−a، rs+rt+st=b و rst=−c نوشته می‌شوند. این سه رابطه امکان استخراج یک کمیت از روی ضرایب یا کنترل جواب‌های پیشنهادی را فراهم می‌کنند، بدون آنکه لازم باشد خود معادله به طور کامل حل شود.
روش گام‌به‌گام
- معادله را ابتدا به شکل یکه x³+ax²+bx+c=0 بنویسید؛ اگر ضریب x³ برابر یک نیست، همه جمله‌ها را بر آن ضریب تقسیم کنید.
- ضرایب a، b و c را با توجه دقیق به علامتشان مشخص کنید.
- برای مجموع ریشه‌ها از r+s+t=−a، برای مجموع حاصل‌ضرب‌های دوتایی از rs+rt+st=b و برای حاصل‌ضرب هر سه ریشه از rst=−c استفاده کنید.
- اگر دو ریشه یا یک رابطه میان ریشه‌ها داده شده است، آن را در روابط ویتا جای‌گذاری کنید و مجهول باقی‌مانده را به دست آورید.
- در پایان، مقدارهای به‌دست‌آمده را هم‌زمان در هر سه رابطه بررسی کنید تا خطای علامت یا برداشت نادرست از ضریب‌ها آشکار شود.
در چندجمله‌ای یکه x³+ax²+bx+c، مجموع ریشه‌ها برابر −a و حاصل‌ضرب آن‌ها برابر −c است.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای کنترل پاسخ، سه کمیت r+s+t، rs+rt+st و rst را جداگانه با ضرایب متناظر مقایسه کنید. در معادله درجه سه، علامت رابطه اول مخالف ضریب x² است، رابطه دوم هم‌علامت ضریب x است و رابطه سوم مخالف جمله ثابت است. این الگو فقط پس از یکه‌کردن معادله معتبر است.
علامت حاصل‌ضرب ریشه‌ها در درجه سه منفی جمله ثابت است؛ استفاده مستقیم از c بدون توجه به علامت، پاسخ کنترل را خراب می‌کند.
جمع‌بندی
در معادله درجه سه یکه، ضریب x² مجموع ریشه‌ها را با علامت مخالف، ضریب x مجموع حاصل‌ضرب‌های دوتایی را با همان علامت و جمله ثابت حاصل‌ضرب سه ریشه را با علامت مخالف تعیین می‌کند. بنابراین روابط ویتا هم ابزار محاسبه‌اند و هم آزمونی سریع برای سنجش سازگاری ریشه‌ها و ضرایب.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←