چطور ریشه ساده یک چندجمله‌ای را پیدا کنیم؟
قضیه ریشه‌های گویا کمک می‌کند به‌جای حدس‌های پراکنده، چند مقدار محدود و منطقی را برای پیدا کردن عامل خطی آزمایش کنیم.
پیدا کردن ریشه چندجمله‌ای؛ از کجا شروع کنیم؟
برای یافتن یک ریشه ساده، ابتدا چندجمله‌ای را به‌صورت استاندارد و با ضرایب صحیح بنویسید. اگر ریشه گویا به‌شکل p/q باشد، p باید مقسوم‌علیه جمله ثابت و q باید مقسوم‌علیه ضریب جملهٔ پیشرو باشد. پس از آزمایش نامزدها، با قضیه باقی‌مانده صفر شدن مقدار چندجمله‌ای در x=a را به عامل x−a تبدیل می‌کنیم و سپس در صورت نیاز، چندجمله‌ای را با تقسیم ترکیبی یا تقسیم چندجمله‌ای کاهش می‌دهیم.
روش گام‌به‌گام
- چندجمله‌ای را مرتب کنید و ضریب جملهٔ پیشرو و جملهٔ ثابت را مشخص کنید؛ در صورت امکان، ضرایب را بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ساده کنید.
- همهٔ کسرهای ممکن p/q را بسازید؛ صورت‌ها از مقسوم‌علیه‌های جملهٔ ثابت و مخرج‌ها از مقسوم‌علیه‌های ضریب جملهٔ پیشرو انتخاب می‌شوند و هر دو علامت را در نظر بگیرید.
- نامزدهای ساده‌تر مانند ۱، −۱ و مقسوم‌علیه‌های کوچک را با جایگذاری مستقیم آزمایش کنید تا مقداری با خروجی صفر پیدا شود.
- اگر P(a)=0 شد، a را ریشه و x−a را عامل چندجمله‌ای بنویسید؛ علامت عامل از همین رابطه تعیین می‌شود.
- چندجمله‌ای را بر x−a تقسیم کنید و حاصل را برای یافتن ریشه‌های بعدی یا تجزیهٔ کامل بررسی کنید.
- در پایان، حاصل‌ضرب عامل‌ها را دوباره در چندجمله‌ای اصلی مقایسه کنید تا هم ریشه‌ها و هم ضریب ثابت درست باشند.
اگر جمله ثابت ۴۰ باشد، مقسوم‌علیه‌های صحیح آن نامزدهای اولیه‌اند. با جایگذاری هر نامزد، مقداری که چندجمله‌ای را صفر کند یک ریشه و عامل متناظر آن مشخص می‌شود.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای بررسی پاسخ، مقدار چندجمله‌ای را در ریشهٔ پیدا‌شده جایگذاری کنید؛ باید دقیقاً صفر شود. سپس تقسیم بر عامل متناظر را کنترل کنید و اگر چند ریشه به‌دست آمده است، با جایگذاری یا ضرب عامل‌ها سازگاری آن‌ها را با چندجمله‌ای اولیه بسنجید. در ریشه‌های گویا، باید صورت و مخرج نامزدها با مقسوم‌علیه‌های جملهٔ ثابت و ضریب جملهٔ پیشرو مطابقت داشته باشند.
صفر شدن چندجمله‌ای در x=a یعنی عامل آن x−a است؛ نوشتن x+a به‌جای x−a خطایی بسیار متداول است.
جمع‌بندی
روش منظم پیدا کردن ریشهٔ ساده بر پایهٔ محدود کردن نامزدها، جایگذاری دقیق و تبدیل ریشه به عامل خطی است. وقتی P(a)=0 باشد، عامل حتماً x−a است؛ بنابراین پس از یافتن مقدار صفرکننده، تقسیم چندجمله‌ای مسیر تجزیه و یافتن ریشه‌های بعدی را مشخص می‌کند.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←