تعداد نقاط تقاطع دو نمودار را با ریشه‌های تفاضل پیدا کنید
برای شمردن نقاط تقاطع دو نمودار، دو تابع را برابر نکنید و فقط به شکل ظاهری آن‌ها تکیه نکنید؛ تابع تفاضلی h(x)=f(x)-g(x) را بسازید و تعداد ریشه‌های حقیقی آن را در دامنهٔ مسئله بیابید، زیرا هر ریشهٔ h یک مقدار x برای تقاطع است.
تعداد نقاط تقاطع دو نمودار؛ از کجا شروع کنیم؟
دو نمودار f و g دقیقاً در جایی همدیگر را قطع یا لمس می‌کنند که ارتفاعشان برابر باشد؛ بنابراین f(x)=g(x) و در نتیجه h(x)=f(x)-g(x)=0. این تبدیل، مسئلهٔ هندسی را به شمارش ریشه‌های یک تابع تبدیل می‌کند. اگر دامنه محدود باشد، فقط ریشه‌های همان بازه معتبرند. همچنین ریشهٔ زوجِ h می‌تواند تماس بدون عبور ایجاد کند، اما همچنان یک نقطهٔ تقاطع محسوب می‌شود.
روش گام‌به‌گام
- ابتدا دامنهٔ مجاز هر دو تابع را مشخص کنید؛ نقاطی که یکی از دو تابع در آن‌ها تعریف نشده است، نمی‌توانند نقطهٔ تقاطع باشند.
- تفاضل را به‌صورت h(x)=f(x)-g(x) بنویسید و کسرها، رادیکال‌ها یا توان‌ها را بدون حذف شرط‌های تعریف ساده کنید.
- معادلهٔ h(x)=0 را حل کنید؛ اگر تفاضل چندجمله‌ای است، از تجزیه و اگر نموداری است، صفرهای نمودار h را بررسی کنید.
- هر ریشه را در دامنهٔ مشترک دو تابع نگه دارید و ریشه‌هایی را که در مراحل توان‌دار کردن یا ضرب طرفین ایجاد شده‌اند دوباره در f و g آزمایش کنید.
- برای هر مقدار x معتبر، مقدار y=f(x)=g(x) را حساب کنید؛ دو ریشهٔ متفاوت ممکن است به یک y برسند، اما چون x متفاوت است، دو نقطهٔ جداگانه ساخته می‌شود.
- اگر سؤال تعداد تقاطع را می‌خواهد، ریشه‌های معتبر h را بشمارید؛ اگر مختصات را می‌خواهد، زوج مرتب (x,y) هر ریشه را نیز بنویسید.
فرض کنید f(x)=x² و g(x)=2x+3 باشند. شرط تقاطع از x²=2x+3 به‌دست می‌آید، یعنی x²−2x−3=0 و سپس (x−3)(x+1)=0. پس x=3 و x=−1 معتبرند. در x=3، y=9 و در x=−1، y=1−؛ بنابراین دو نقطهٔ تقاطع (۳،۹) و (۱−،۱−) هستند.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای بازبینی، ابتدا دو مقدار x به‌دست‌آمده را در هر دو تابع قرار دهید: برای x=3 باید f(3)=g(3)=9 و برای x=−1 باید f(−1)=g(−1)=−1 شود. سپس بررسی کنید که معادلهٔ تفاضل درجهٔ دو بیش از دو ریشه ندارد و هیچ شرط دامنه‌ای یکی از ریشه‌ها را حذف نمی‌کند.
ریشه‌های معادلهٔ f(x)=g(x) را با مختصات کامل نقاط اشتباه نگیرید؛ ریشه فقط مؤلفهٔ x است و باید y را جداگانه به دست آورد. همچنین در هنگام ریشه‌گیری یا ضرب در عبارت دارای x، شرط‌های دامنه را حذف نکنید، چون ممکن است مقدار ظاهراً حل‌شده در یکی از توابع تعریف‌نشده باشد.
جمع‌بندی
تعداد نقاط تقاطع از تعداد ریشه‌های معتبر تابع تفاضلی f−g به‌دست می‌آید. دامنهٔ مشترک را حفظ کنید، ریشه‌ها را در هر دو تابع کنترل کنید و فقط در صورت نیاز مقدار y را محاسبه کنید؛ این روش تماس و قطع نمودار را هر دو به‌درستی می‌شمارد.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←