تصویر نهایی دو آینه موازی را چگونه بدون شمردن اشتباه پیدا کنیم؟
برای دو آینه تخت موازی، هر تصویرِ ساخته‌شده در یک آینه می‌تواند مانند جسمی برای آینه دیگر عمل کند؛ بنابراین با شمردن رفت‌وبرگشت‌های نور، نه با حدس‌زدن، می‌توان تعداد تصاویر و جای تصویر نهایی را تعیین کرد.
شمارش تصاویر در دو آینه موازی؛ از کجا شروع کنیم؟
در دو آینه تخت موازی، تصویرها در امتداد عمود بر آینه‌ها و در فاصله‌های منظم شکل می‌گیرند. اگر فاصله دو آینه d و فاصله جسم از آینه چپ a باشد، تصویرهای مربوط به آینه چپ در مکان‌های x=-a-2nd و تصویرهای مربوط به آینه راست در مکان‌های x=2d-a+2nd قرار می‌گیرند؛ n=0,1,2,... است. این الگو نشان می‌دهد چرا تعداد تصاویر ایده‌آل نامتناهی است و چگونه می‌توان تصویر مشخصی را با شماره بازتاب پیدا کرد.
روش گام‌به‌گام
- محور x را عمود بر آینه‌ها بگیرید، آینه چپ را x=0 و آینه راست را x=d قرار دهید؛ جسمی که a واحد از آینه چپ فاصله دارد در x=a است.
- تصویر مستقیم جسم در آینه چپ را با قرینه‌سازی نسبت به x=0 بنویسید؛ مکان آن x=-a است و نخستین تصویر در پشت آینه چپ قرار می‌گیرد.
- برای بازتاب‌های بعدی، هر تصویر را نسبت به آینه مقابل قرینه کنید؛ بازتاب بعدی تصویر x=-a نسبت به x=d در مکان x=2d+a ساخته می‌شود.
- الگوی تصاویر سمت چپ را x=-a-2nd و الگوی تصاویر سمت راست را x=2d-a+2nd بنویسید؛ در هر دو رابطه n از صفر شروع می‌شود.
- اگر سؤال فقط تعداد تصاویر را بپرسد، در مدل آینه‌های کاملاً موازی و بدون محدودیت میدان دید، پاسخ نامتناهی است؛ اگر شماره تصویر یا مکان آن خواسته شود، n را از همان شماره بازتاب تعیین کنید.
- برای کنترل، فاصله تصویرهای پیاپی در هر سمت باید 2d باشد و هر تصویر باید قرینه یک نقطه یا تصویر قبلی نسبت به یکی از دو خط آینه باشد.
دو آینه موازی در x=0 و x=10 سانتی‌متر قرار دارند و جسم نقطه‌ای در x=3 سانتی‌متر است. تصویرهای پشت آینه چپ از رابطه x=-3-20n به‌دست می‌آیند؛ پس نخستین آن‌ها x=-3 و دومین آن‌ها x=-23 سانتی‌متر است. تصویرهای پشت آینه راست از x=20-3+20n یعنی x=17+20n به‌دست می‌آیند؛ پس نخستین آن‌ها x=17 و دومین آن‌ها x=37 سانتی‌متر است. بنابراین چهار تصویر اول در مکان‌های -3، 17، -23 و 37 سانتی‌متر قرار دارند و با ادامه بازتاب‌ها، زنجیره پایان ندارد.
چطور این مبحث را مرور کنیم؟
برای مرور این مبحث، ابتدا دو خط موازی و مکان جسم را روی محور رسم کنید، سپس فقط سه بازتاب نخست را با قرینه‌سازی واقعی بسازید. بعد رابطه هر سمت را از روی مکان‌های به‌دست‌آمده حدس بزنید و با جایگذاری n=0 و n=1 آزمایش کنید. اگر فاصله دو تصویر هم‌سمت 2d نشد، یا فاصله جسم از آینه اشتباه وارد شده یا تصویر نسبت به خط نادرست قرینه شده است.
خطای رایج این است که فاصله دو آینه d را فاصله میان تصویرهای پیاپی بگیرند؛ هر بازتاب کامل از هر دو آینه، جابه‌جایی 2d در آرایش تصویرها ایجاد می‌کند. همچنین «تعداد تصاویر» را با تعداد تصاویری که در یک رسم محدود دیده می‌شوند یکی نگیرید؛ برای دو آینه موازی ایده‌آل، زنجیره تصاویر نامتناهی است.
جمع‌بندی
راه مطمئن این مبحث، تبدیل هر بازتاب به قرینه‌سازی نسبت به خط آینه است. با مبدأگذاری در یکی از آینه‌ها، تصاویر سمت چپ به فاصله‌های a، a+2d، a+4d و تصاویر سمت راست به فاصله‌های d-a، d-a+2d، d-a+4d از آینه راست ظاهر می‌شوند؛ همین دو دنباله هم مکان تصویر را می‌دهند و هم دلیل نامتناهی‌بودن آن را روشن می‌کنند.
مطالعه مطلب آموزشی مرتبط ←